Analisi Matematica II

Facoltà di Ingegneria Civile e Industriale, Sapienza Università di Roma

Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Chimica
A.A. 2021/2022


AVVISI

NEW!!!    L'appello autunnale si terrà il 7 settembre pomeriggio in aula 3 in via del castro laurenziano. Orario da definire con avviso successivo.

   

Docente:  prof. Antonio Cigliola


Ricevimento: Su appuntamento per email a antonio.cigliola@uniroma1.it
Il canale Zoom del docente è raggiungibile qui:
Martedì       16:00-19:00  [aula 4, via del castro laurenziano]
Martedì       16:00-19:00  [aula IV, Dipartimento di Matematica Castelnuovo]
Giovedì       10:00-12:00  [aula 4, via del castro laurenziano]
Per seguire online le lezioni dell'aula 4 usare questo link.
Le lezioni dell'aula IV si terranno invece nella Zoom room personale del docente a questo link.

Prerequisiti: 
Geometria, Analisi Matematica 1.


Programma di massima del corso:
Successioni e serie di funzioni. Serie di potenze. Serie di Fourier. Funzioni scalari e vettoriali di una o più variabili reali. Calcolo differenziale delle funzioni di più variabili reali. Misure di insiemi. Calcolo integrale in più variabili reali. Curve differenziali e integrali curvilinei. Superficie differenziali e integrali di superficie. Forme differenziali. Funzioni implicite. Massimi e minimi vincolati e non.

 
Materiale didattico consigliato:
  • Elementi di Analisi Matematica Due, Marcellini, Sbordone, Fusco - Liguori 
  • Complementi di Analisi Matematica II, Cigliola - de Bonis - De Cicco, Ed. La Dotta
  • Analisi Matematica II, Esercizi e richiami di teoria, Amar, Bersani, La Dotta
  • Esercizi di Analisi Matematica Due, Fusco - Marcellini - Sbordone, Zanichelli Editore
  • Esercizi di Analisi Matematica II, Casalvieri - De Cicco, La Dotta
  • Note di Logica e Teoria degli Insiemi, Antonio Cigliola
  • Binomio di Newton, Antonio Cigliola
  • Note sulle successioni di funzioni, Antonio Cigliola

TRACCE D'ESAME

 
DIARIO DELLE LEZIONI

LEZIONE 1
Presentazione del corso. Richiami sulle successioni numeriche reali. Successioni di funzioni. Esempi vari. Limite puntuale di una successione di funzioni. Convergenza uniforme. Criteri per lo studio della convergenza uniforme. 

LEZIONE 2
Teorema dell'inversione dei limiti. Teorema di continuità del limite uniforme. Teorema del passaggio al limite sotto il segno di integrale. Esempi vari.

LEZIONE 3
Teorema del passaggio al limite sotto il segno di derivata. Esempi vari. Esercizi d'esame.


LEZIONE 4
Richiami sulle serie numeriche reali. Serie di funzioni. Convergenza puntuale, uniforme, assoluta, totale per le serie di funzioni. Teorema di Weierstrass per la convergenza totale. Esempi vari di serie convergenti in alcuni modi ma non in altri. 

LEZIONE 5
Esempi ed esercizi vari sulla convergenza delle serie.

LEZIONE 6
Teorema di continuità della somma uniforme. Teorema di integrazione termine a termine. Teorema di derivazione termine a termine.


LEZIONE 7
Esercitazione. Video

LEZIONE 8
Serie di potenze. Lemma di convergenza sugli intervalli. Raggio di convergenza e metodo di calcolo. Teorema di D'Alembert. Teorema di Cauchy-Hadamard. Esempi vari ed esercizi. 


LEZIONE 9
La serie derivata di una serie di potenze ha lo stesso raggio di convergenza. Teorema di integrazione e di derivazione di una serie di potenze. Serie di potenze centrate in un punto diverso dall'origine. Funzioni analitiche. Sviluppo in serie di Taylor. Condizione sufficiente di sviluppabilità in serie di Taylor. Serie di MacLaurin della funzione esponenziale, logaritmo, seno, coseno, arcotangente. Calcolo di pi greco con la serie ciclometrica. Teorema di Abel per le serie di potenze. 

LEZIONE 10
Esercitazione.

LEZIONE 11
Spazio vettoriale delle funzioni continue su un intervallo. Il prodotto scalare indotto dall'operatore integrale. Sistema ortonormale delle funzioni di tipo trigonometrico. Richiami sulle proiezioni ortogonali. Serie di Fourier associata ad una funzione continua su un intervallo. Convergenza della serie di Fourier. 

LEZIONE 12
Esercitazione.


LEZIONE 13
Topologia euclidea in $\mathbb R^n$. Punti interni, esterni, di frontiera, di accumulazione, isolati. Insiemi aperti, chiusi, limitati, densi, scarni.


LEZIONE 14
Insiemi connessi (aperti o chiusi). Funzioni (scalari) reali di due variabili reali. Esempi di grafici. Funzioni polinomiali di primo grado. Esempi di funzioni che hanno per grafico una porzione di una superficie quadrica. Richiami su paraboloidi ellittici e iperbolici (a sella), cilindri e superficie di tipo cilindrico, sfere, coni, superficie di rotazione. Grafici di funzioni a simmetria radiale. 


LEZIONE 15
Esercitazione

LEZIONE 16
Limiti di funzioni di due variabili. Restrizioni e limiti delle restrizioni. Condizione necessaria di esistenza del limite lavorando con restrizioni. 


LEZIONE 17
Coordinate polari. Esempi di passaggio da coordinate cartesiane a polari e viceversa. Cenni sulle curve polari. Coordinate polari traslate. Condizione necessaria di esistenza del limite in termini di coordinate polari. Condizione sufficiente di esistenza del limite in coordinate polari. Esempi ed esercizi vari. 


LEZIONE 18
Continuità per le funzioni reali di una variabile reale. Esempi ed esercizi vari. Teoremi fondamentali sulle funzioni continue: teorema di Weierstrass, teorema di Darboux, teorema di Bolzano. 

LEZIONE 19
Derivate parziali. Derivabilità di una funzione in due variabili reali. Significato geometrico. Il problema della derivabilità sui punti di bordo del dominio e definizione con il prolungamento per continuità. Esempi di funzioni non derivabili. 


LEZIONE 20
La derivabilità non implica la continuità di una funzione di più variabili reali. Il vettore gradiente. Derivate parziali di ordine superiore. Teorema di Schwartz. Esempi e controesempi vari. 

LEZIONE 21
Matrice hessiana. Differenziabilità. Piano tangente. Retta tangente ad una curva piana implicitamente definita. 


LEZIONE 22
La differenziabilità implica la continuità. Teorema del differenziale totale. Esempi e controesempi vari. Esercizi.

LEZIONE 23
Curve piane. Composizione di una curva piana e di una funzione di due variabili. Derivata della funzione composta (chain rule). Derivate direzionali. Formule di calcolo delle derivate direzionali di funzioni differenziabili. 

LEZIONE 24
Interpretazione geometrica del gradiente come direzione di massima pendenza. Il differenziale totale di una funzione differenziabile. Le funzioni derivabili con gradiente nullo su un connesso sono costanti. Formula di Taylor con il resto di Peano. Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat (condizione necessaria del primo ordine). Punti critici. Punti di sella. Condizione sufficiente del secondo ordine. Esempi di analisi di punti stazionari con determinante hessiano nullo. 
Video 2 (mancano i primi minuti di registrazione)


LEZIONE 25
Topologia in $\mathbb R^n$. Funzioni di tre variabili reali. Calcolo di domini. Funzioni scalari di più variabili reali. Campi vettoriali. Limiti, continuità derivabilità, differenziabilità in più variabili reali. Matrice jacobiana. 


LEZIONE 26
Richiami sugli integrali definiti. Aree di regioni piane. Domini piani normali rispetto agli assi cartesiani. Domini regolari. Aree di domini piani normali o regolari. 

LEZIONE 27
Integrali doppi su domini normali. Interpretazione geometrica (per il calcolo di volumi di cilindroidi). Interpretazione fisica (come integrali di massa).


LEZIONE 28
Esercitazione.

LEZIONE 29
Integrali doppi in coordinate polari. Polari traslate. Polari ellittiche. Baricentri di lamine piane.  Domini normali nello spazio tridimensionale. Integrali tripli in coordinate cartesiane. Interpretazione fisica. 

LEZIONE 30
Coordinate cilindriche. Coordinate sferiche. Esempi vari. 


LEZIONE 31
Esercitazione

LEZIONE 32
Baricentri di domini nello spazio. Curve piane e curve nello spazio. Curve aperte, chiuse, semplici, regolari. Curve polari. Lunghezza di una curva. Esempi vari: elica cilindrica, cardioide, spirale. 


LEZIONE 33
Integrali curvilinei. Interpretazione geometrica e fisica. Baricentri di curve. Superficie parametriche. Superficie regolari. Vettori tangenti. Piano tangente.

LEZIONE 34
Vettore ortogonale. Area di una superficie regolare. Integrali di superficie. Baricentro di una superficie. Principio degli indivisibili di cavalieri in due e tre dimensioni. 


LEZIONE 35
Applicazioni del principio di Cavalieri. Teoremi di Guldino. Esempi vari. Forme differenziali. Forme esatte. Primitive. Calcolo di primitive col metodo delle integrazioni successive. 


LEZIONE 36
Esercitazione

LEZIONE 37
Formule di Gauss-Green. Calcolo dell'area con le formule di Gauss-Green. Forme chiuse. L'esattezza implica la chiusura. Teoremi sulle forme esatte. Teorema fondamentale per il calcolo dell'integrale di una forma esatta su una curva. Aperti semplicemente connessi. Teorema di Poincaré. 

LEZIONE 38
Esercitazione

LEZIONE 39
Esercitazione

LEZIONE 40
Esercitazione
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