Sapienza Università di Roma
Corso di Laurea Triennale in Statistica, Economia e Società (SES)
Corso di Laurea Triennale in Statistica Gestionale (SG)
A.A. 2019/20
AVVISI
Il docente ha creato un corso online sulla piattaforma Microsoft Teams dal nome Matematica II Corso - SES & SG. Il codice per iscriversi al corso (usando esclusivamente un indirizzo istituzionale @uniroma1.it) è rr6h2q3. Gli studenti sono invitati ad iscriversi per tempo.Vademecum per la prova scritta online:
Si informa lo studente che la connessione alla videoconferenza d'esame, implica l’accettazione della modalità per lo svolgimento della prova scritta di esame a distanza, così come prevista dal D.R. 17/042020.
1) Usare fogli (preferibilmente) bianchi ed esclusivamente penne di colore nero o blu (no matita). È possibile utilizzare una calcolatrice NON grafica e NON programmabile durante la prova scritta.
2) Munirsi sul cellulare di un'App di lettura dei QRcode. (Molti cellulari posseggono questa funzione associata alla fotocamera).
3) Per la sorveglianza saranno create due stanze con "Google Meet" una detta "pubblica" e una seconda detta "privata". Utilizzando esclusivamente l'account uniroma1.it, ci si deve collegare alla stanza pubblica da PC e alla stanza privata da un altro dispositivo (cellulare o tablet) entrambi con webcam attiva. I link delle stanze saranno comunicati dai docenti mediante mail istituzionale (da infostud) dieci minuti prima dell'inizio della prova.
4) Durante la prova d'esame la webcam del pc deve inquadrare frontalmente il candidato, la webcam del secondo dispositivo deve inquadrare il candidato nella propria stanza.
5) Disattivare il salvaschermo del PC per evitare che interferisca con il sito Exam.net causando l'espulsione dall'esame.
6) Iniziata la prova, vanno spenti i microfoni dei dispositivi nelle stanze GoogleMeet. Ogni dubbio o domanda del candidato dovrà essere posta esclusivamente via chat su Exam.net
7) Non si può abbandonare la prova prima della scadenza del tempo (2 ore nette per lo svolgimento).
8) Come effettuare le consegne su Exam.net.
- Cliccare su "Scan solution"
- Appare sullo schermo del PC un QRcode che va scannerizzato dall'App di lettura del cellulare.
- Fotografare (nella maniera più nitida possibile evitando di girare o capovolgere il telefono) la prima pagina del compito. Se la qualità dell'immagine non fosse sufficiente, ripetere l'operazione scattando una nuova foto.
- Confermare l'invio cliccando su "Ok".
- Tornare quindi al menù “Mostra esame” in alto a sinistra.
- Caricare un nuovo foglio seguendo la stessa procedura. Il foglio verrà visualizzato a seguire nel riquadro destro dello schermo. - Infine, al termine, dopo avere verificato la correttezza dello svolgimento cliccare su “Invia esame” (Submit exam).
9) In caso di scollegamento da Exam.net, è necessario richiedere di essere riammesso all'esame spiegando il motivo della disconnessione, sempre comunicando via chat su Exam.net.
Simulazione d'esame. Svolgere la prova in non più di due ore.
Si ricorda a tutti gli studenti che è doveroso compilare il questionario OPIS relativo al corso. Il codice della materia è EL4NTYD2
Si ricorda a tutti gli studenti che è doveroso compilare il questionario OPIS relativo al corso. Il codice della materia è EL4NTYD2
Docente: prof. Antonio Cigliola
Ricevimento: su appuntamento per email a antonio.cigliola@uniroma1.it
Orario delle lezioni:
Lunedì 14:45 - 18:00 Aula I (Gini)
Mercoledì 15:30 - 18:00 Aula I (Gini)
Modalità d'esame
L'esame prevede una prova scritta obbligatoria comprendente esercizi, applicazioni pratiche e quesiti di natura teorica.
Prove d'esame
Simulazione Testo
9 Giugno Prova1 Prova2
14 Luglio Testo
7 Novembre Testo
9 Gennaio Testo
10 Febbraio Testo
27 Marzo Testo
Programma di massima del corso:
Fondazione dei numeri reali: assiomi di campo numerico, assiomi di ordinamento, assioma di continuità. Topologia della retta reale. Proprietà dei numeri reali. Funzioni reali di una variabile reale. Funzioni elementari: grafici e proprietà. Limiti di funzioni. Continuità delle funzioni. Calcolo differenziale. Asintoti. Grafici di funzioni reali di una variabile reale. Formula di Taylor e formula di Mac-Laurin. Successioni numeriche. Serie numeriche. Calcolo integrale. Equazioni differenziali.
Libro di testo adottato e materiale didattico consigliato:
- Analisi Matematica Uno, Cigliola, Ed. La Dotta
- Analisi Matematica 1, Pagani - Salsa, Zanichelli
- Note sul Binomio di Newton, Antonio Cigliola
DIARIO DELLE LEZIONI
LEZIONE 1
Insiemi numerici: \(\mathbb N\), \(\mathbb Z\) e \(\mathbb Q\). Numeri decimali periodici. Irrazionalità di \(\sqrt 2\). Postulato dell'esistenza di un campo ordinato e completo: l'insieme dei numeri reali: \((\mathbb R,\ +,\ \cdot,\ \leqslant)\). Assiomi di campo, assiomi di ordinamento e assioma di continuità. Proprietà delle operazioni: unicità dello zero, di uno, dell'opposto e dell'inverso; leggi di cancellazione; legge di annullamento del prodotto. Proprietà dell'ordinamento. Introduzione delle relazioni d'ordine \(\geqslant,\ <,\ >\). Numeri positivi e numeri negativi. Regola dei segni. Principi di equivalenza delle disuguaglianze.
LEZIONE 2
Disequazioni algebriche, disequazioni fratte, sistemi di disequazioni. Applicazione dell'assioma di continuità per provare che \(\sqrt 2\in\mathbb R\). Teorema della radice \(n\)-esima. Intervalli di \(\mathbb R\). Equazioni e disequazioni irrazionali.
LEZIONE 3
Valore assoluto. Proprietà. Disuguaglianza triangolare. Equazioni e disequazioni con valore assoluto. Massimo e minimo di un insieme di numeri reali. Unicità del massimo e del minimo. Maggioranti e minoranti. Insiemi limitati superiormente. Insiemi limitati inferiormente. Insiemi limitati. Insiemi illimitati inferiormente. Insiemi illimitati superiormente. Caratterizzazione degli insiemi limitati. Estremo superiore. Estremo inferiore. Teorema di esistenza dell'estremo superiore. Teorema di esistenza dell'estremo inferiore.
LEZIONE 4
Teorema di caratterizzazione dell'estremo superiore. Teorema di caratterizzazione dell'estremo inferiore. Introduzione dei simboli \(+\infty\) e \(-\infty\) per indicare estremo superiore ed inferiore di insiemi illimitati superiormente e insiemi illimitati inferiormente. Prorpietà di Archimede. Proprietà di densità di \(\mathbb Q\) in \(\mathbb R\). Proprietà di densità di \(\mathbb R\setminus\mathbb Q\) in \(\mathbb R\).
LEZIONE 5
Teledidattica: Richiami di goniometria. Equazioni e disequazioni goniometriche.
Dispense della videolezione
LEZIONE 6
Teledidattica: Richiami su esponenziali e logaritmi. Equazioni e disequazioni esponenziali e logaritmiche.
Dispense della videolezione
LEZIONE 7
Teledidattica: Funzioni. Funzione identica. Funzione costante. Funzioni reali di variabile reale. Funzioni definite a tratti. Funzione di Dirichlet. Principio di uguaglianza tra funzioni. Restrizione di una funzione. Dominio naturale (insieme di definizione) di una funzione. Immagine di un sottoinsieme del dominio. Controimmagine di un elemento e di un sottoinsieme dell'insieme di arrivo. Funzioni iniettive, suriettive, biettive. Funzioni crescenti e decrescenti. Funzioni monotone.
LEZIONE 8
Teledidattica: Funzioni pari e dispari. Funzioni invertibili. Proprietà della funzione inversa e delle funzioni invertibili. Una funzione è invertibile se e solo se è biettiva. Costruzione delle inverse di funzioni invertibili. Grafici di funzioni: come interpretarli per dedurre la non iniettività, l'insieme immagine e il grafico della funzione inversa. Grafici di funzioni elementari. Funzioni lineari, funzione costante e funzione valore assoluto. Funzioni potenze e funzioni radici. Funzioni goniometriche e funzioni goniometriche inverse. Funzione esponenziale e funzione logaritmo. Esercitazione sul calcolo di domini di funzioni.
LEZIONE 9
Teledidattica: Estremo superiore, estremo inferiore, massimo, minimo di una funzione reale. Punti di massimo e punti di minimo di una funzione. Punti estremanti. Introduzione alla topologia della retta reale. Distanza euclidea sulla retta reale. Proprietà. Intorni di punti reali. Intersezioni e unioni di intorni. Punti interni, punti esterni, punti di frontiera di un sottoinsieme di \(\mathbb R\). Parte interna, parte esterna, frontiera di un sottoinsieme di \(\mathbb R\). Esempi vari. Punti di accumulazione, punti isolati di un sottoinsieme di \(\mathbb R\).
LEZIONE 10
Teledidattica: Limiti di funzioni reali di una variabile reale. Osservazioni e considerazioni sulla definizione. Verifica dei limiti applicando la definizione. Limiti infiniti. Se una funzione \(f(x)\) ammette limite \(l\), allora la funzione \(−f(x)\) ammette limite \(−l\) e la funzione \(f(x)−l\) ammette limite \(0\). Esempi di funzioni che non ammettono limite. Limiti all'infinito. Intorni di \(+\infty\). Intorni di \(-\infty\). Retta reale estesa. Definizione topologica di limite.
LEZIONE 11
Teledidattica: Teorema di unicità del limite. Teoremi di permanenza del segno. Teoremi del confronto. Teorema dei carabinieri. Applicazioni.
LEZIONE 12
Teledidattica: Se la funzione \(f(x)\) ammette limite \(l\), allora la funzione\(|f(x)|\) ammette limite \(|l|\). Non vale in generale il viceversa. Teoremi di addizione e sottrazione dei limiti. Forme indeterminate di tipo \([+\infty-\infty]\). Lemma di limitatezza locale. Teoremi di moltiplicazione dei limiti. Forme indeterminate del tipo\( [0\cdot\infty]\). Teorema sul limite della funzione reciproco. Limiti della potenza n-esima di una funzione. Limiti di funzioni polinomiali. Limite del rapporto di funzioni. Forme indeterminate di tipo \([\frac00]\) e \([\frac{\infty}{\infty}]\).
LEZIONE 13
Teledidattica: Limite destro e limite sinistro. Teorema fondamentale di esistenza del limite in termini di limite destro e limite sinistro. Teoremi sui limiti di funzioni monotone. Limiti delle funzioni elementari. Funzioni continue. La somma, la differenza, il prodotto, il reciproco (dove definito) e il rapporto (dove definito) di funzioni continue sono funzioni continue. Esempi di funzioni non continue. Le funzioni elementari sono continue.
LEZIONE 14
Teledidattica: Teorema di continuità della composta di funzioni continue. Continuità delle funzioni potenza ad esponente irrazionale. Teorema di continuità della funzione inversa. Esercitazione: calolo di limiti. Limiti notevoli. Punti di discontinuità di una funzione. Discontinuità eliminabili. Discontinuità di tipo salto. Discontinuità di seconda specie.
LEZIONE 15
Teledidattica: Teorema di permanenza del segno per le funzioni continue. Teorema di Weierstrass. Teorema degli zeri di Bolzano. Teorema dei valori intermedi di Darboux. Introduzione alle derivate. Motivazione geometrica e breve storia della disputa Leibnitz-Newton. La derivata di una funzione in un punto. Funzione derivata. Esempi di calcolo. Se una funzione è derivabile in un punto, allora è anche continua in quel punto. La funzione valore assoluto è continua ma non è derivabile in zero. Derivata destra e derivata sinistra in un punto.
LEZIONE 16
Teledidattica: Teorema di derivazione della somma di funzioni. Teorema di derivazione del prodotto di due funzioni. Esempi vari. Teorema di derivazione della funzione reciproco. Teorema di derivazione del rapporto di due funzioni. Teorema di derivazione della funzione composta. Teorema di derivazione della funzione inversa. Derivate delle funzioni circolari inverse. Derivate di ordine superiore al primo. Classi di regolarità di funzioni reali. Esercitazione.
LEZIONE 17
Teledidattica: Differenziali. Teorema di Rolle. Teorema del valor medio di Lagrange. Interpretazione geometrica. Se una funzione definita su un intervallo ha derivata nulla, allora essa è costante su tale intervallo. Due funzioni che hanno la stessa derivata su un intervallo si differiscono per una costante. Esercitazione.
LEZIONE 18
Teledidattica: Se una funzione continua ha derivata positiva (negativa) su un intervallo, allora è crescente (decrescente) su tale intervallo. Inversione debole. Teorema di De l'Hopital. Criterio di derivabilità. Esempi ed esercizi.
LEZIONE 19
Teledidattica: Punti di massimo e di minimo locali. Punti stazionari. Teorema di Fermat (per i punti di massimo e minimo locali interni al dominio). Criterio del prim'ordine. Criterio del second'ordine. Funzioni concave e convesse. Studio della convessità di una funzione per mezzo della derivata seconda. Esercitazione.
LEZIONE 20
Teledidattica: Punti di non derivabilità: punti angolosi, cuspidi, punti di flesso a tangente verticale. Polinomio di Taylor. Polinomio di MacLaurin. Applicazioni. Esercitazione.
LEZIONE 21
Teledidattica: Asintoti verticali. Asintoti orizzontali. Asintoti obliqui. Grafici di funzione.
LEZIONE 22
Teledidattica: Primitive. Integrali indefiniti. Integrali immediati. Integrali riconducibili a quelli immediati. Integrali di tipo arcotangente. Integrali di tipo logaritmo. Integrazione per parti. Integrazione per sostituzione.
Esercitazione.
LEZIONE 23
Teledidattica: Calcolo integrale: motivazione storica. Calcolo dell'area di un rettangoloide sotteso ad una funzione limitata definita su un intervallo chiuso e limitato. Partizione di un intervallo limitato. Somma integrale inferiore e somma integrale superiore relativa ad una partizione. Esempio di calcolo per una funzione costante. Le classi delle somme integrali superiori e delle somme integrali inferiori sono separate. Funzioni integrabili secondo Riemann. La funzione di Dirichlet non è integrabile secondo Riemann. Le funzioni continue e le funzioni monotone, definite su un intervallo chiuso e limitato, sono integrabili secondo Riemann. Additività dell'integrale definito rispetto al dominio. Linearità dell'integrale definito rispetto alla funzione integranda. Proprietà di monotonia e di posititività dell'integrale definito. Diseguaglianza triangolare generalizzata per l'integrale definito. Teorema della media integrale. Esercitazione.
LEZIONE 24
Teledidattica: Funzione integrale. Teorema fondamentale del Calcolo Integrale (di Torricelli-Barrow). Primitiva di una funzione. Due primitive di una funzione differiscono per una costante. Teorema di Newton (formula fondamentale del calcolo integrale). Aree di regioni piane. Integrali impropri di funzioni continue e positive definite su intervalli di tipo [a,+∞) e su intervalli di tipo (a,b] oppure [a,b). Convergenza degli integrali di tipo \(\int\frac{1}{t^\alpha}dt\) in un intorno di 0 o in un intorno di +∞. Misura di regioni del piano infinitamente estese. Esercitazione.
LEZIONE 25
Teledidattica. Esercitazione. Teorema del confronto per gli integrali impropri. Teorema del confronto asintotico per gli integrali impropri. Assoluta convergenza per integrali impropri. L'assoluta convergenza implica la convergenza di un integrale improprio. Il viceversa invece non vale.
LEZIONE 26
Teledidattica. Esercitazione. Successioni numeriche reali. Successioni convergenti, divergenti positivamente, divergenti negativamente. Esempi di verifica del limite di una successione. Comportamento definitivo di una successione. Estensione reale di una successione e legame con il limite della successione. Limiti notevoli in termini di successioni. Esempi di applicazione dei teoremi del confronto alle successioni. Fattoriale e limiti di successioni che lo coinvolgono. Successioni crescenti, successioni decrescenti.
LEZIONE 27
Teledidattica. Limiti di successioni monotone. Calcolo del limite di una funzione in un punto \(y_0\) in termini del limite delle immagini delle successioni convergenti ad \(y_0\). Applicazione alla continuità di una funzione. Esempi di applicazione per la non esistenza di un limite di funzione. Esercitazione. Serie numeriche. Cenni storici e motivazione. Serie e successione delle somme parziali n-esime. Serie convergenti, divergenti e indeterminate. Serie di Mengoli. Serie armonica. Serie armonica generalizzata. Serie geometrica. Condizione necessaria di convergenza per una serie. Operazioni con le serie.
LEZIONE 28
Teledidattica. Serie a termini positivi. Le serie a termini positivi convergono o divergono positivamente. Criterio del confronto. Criterio del confronto asintotico. Criterio della radice. Criterio del rapporto. Serie a termini di segno qualsiasi. Assoluta convergenza di una serie. L'assoluta convergenza implica la convergenza di una serie. Serie a segno alterno. Criterio di convergenza di Leibnitz, esempi e controesempi. Esercitazione.
LEZIONE 29
Teledidattica. Introduzione alle equazioni differenziali. Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Problemi di Cauchy. Interpretazione geometrica e fisica. Equazioni differenziali a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. La soluzione generale di un'equazione non omogenea è data dalla somma di una soluzione particolare dell'equazione più la soluzione generale dell'equazione omogenea associata. Risoluzione di un'equazione omogenea.
LEZIONE 30
Teledidattica. Metodo della somiglianza (o dei coefficienti indeterminati) per la soluzione di un'equazione non omogenea. Analisi di vari casi. Problemi di Cauchy del secondo ordine. Esercitazione.
LEZIONE 31
Teledidattica: Esercitazione.
LEZIONE 32
Teledidattica: Esercitazione.