GEOMETRIA - canale 1

Dipartimento DIAG, Sapienza Università di Roma
Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Gestionale
A.A. 2020/2021


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Si ricorda che è doveroso compilare il questionario di valutazione OPIS del corso. Il codice da usare è: 9I9EXW0J.


Il codice ID per Zoom del docente è 226 221 7106.

Il tutoraggio si terrà al seguente link Zoom. 

Le date di appello fissate sono le seguenti:  22 Gennaio, 15 Febbraio, 17 Giugno, 16 Luglio, 2 Settembre



Ricevimento: per email antonio.cigliola@uniroma1.it


Orario delle lezioni:
dal Lunedì al Venerdì ore 8:00-10:00 in aula 12 (via Scarpa)


Tutoraggi (a cura della dottoressa Michela Franzò):
michela.franzo@uniroma1.it
Martedì e Giovedì ore 16:00-17:30


Prerequisiti: Logica elementare. Teoria elementare degli insiemi. Insiemi numerici. Principio di induzione. Equazioni e disequazioni. Goniometria e trigonometria. Geometria Analitica di base. (In generale, sono dati per scontati tutti argomenti del Precorso di Matematica).


Programma di massima del corso:
Algebra lineare: Matrici. Determinanti. Rango. Sistemi lineari. Spazi vettoriali. Applicazioni lineari. Autovalori e autovettori. Diagonalizzazione. Forme quadratiche. Prodotto scalare. Prodotto vettoriale. Operatori simmetrici. Teorema spettrale. 
Geometria: Geometria affine del piano e dello spazio. Geometria euclidea del piano e dello spazio. 


Modalità d'esame:
L'esame consiste in una prova scritta e di una prova orale.


Tracce d'esame:

Primo esonero      A    B    C    D    E
Secondo esonero   A     B    C   
Appello di Gennaio    A     B
Appello di Febbraio   A
Appello di Marzo   A
Appello di Giugno   A
Appello di Luglio     A


Libro di testo adottato e materiale didattico consigliato:
  • Geometria, A. Cigliola, Ed. La Dotta, (nuova edizione 2019)



DIARIO DELLE LEZIONI

LEZIONE 1
Presentazione del corso.

LEZIONE 2
L'insieme \(\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})\) delle matrici di tipo \(m\times n\) a coefficienti reali. Notazioni e nomenclatura.Vettori riga e vettori colonna. Matrice nulla. L'insieme \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) delle matrici quadrate di ordine \(n\) a coefficienti reali. Matrici diagonali. Matrice identica di ordine \(n\).

LEZIONE 3
Trasposta di una matrice. Matrici triangolari superiori ed inferiori. Principio di identità tra matrici. Somma di matrici dello stesso tipo. L'addizione tra matrici è associativa e commutativa, la matrice nulla è l'elemento neutro rispetto alla somma, ogni matrice ha la sua matrice opposta. Moltiplicazione di un numero reale per una matrice: proprietà fondamentali. L'operazione di trasposizione conserva la somma tra matrici e il prodotto di un numero reale con una matrice. Matrici simmetriche ed antisimmetriche: proprietà. L'unica matrice sia simmetrica che antisimmetrica è la matrice nulla.

LEZIONE 4
Prodotto di un vettore riga per un vettore colonna. Prodotto riga per colonna di matrici. In generale il prodotto riga per colonna non è commutativo né integro. Proprietà del prodotto riga per colonna. Prese due matrici \(A\in M_{m,n}(\mathbb{R})\) e \(B\in M_{n,p}(\mathbb{R})\), allora \((AB)^T=B^TA^T\). La matrice identica è l'elemento neutro del prodotto. 


LEZIONE 5
 Esercitazione: calcolo matriciale. Combinazioni lineari di vettori riga e vettori colonna. Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. Esempi ed esercizi.



LEZIONE 6
Un vettore riga (o colonna) è linearmente dipendente se e solo se è nullo. Due vettori riga (o colonna) sono linearmente dipendenti se e solo se uno dei due è multiplo dell'altro. Se in un insieme di vettori riga (o colonna) uno di essi è il vettore nullo, allora i vettori sono linearmente dipendenti. Se in un insieme di vettori riga (o colonna) due di essi sono uguali, allora i vettori sono linearmente dipendenti. Dei vettori (riga o colonna) sono linearmente dipendenti se e solo se uno di essi può essere scritto come combinazione lineare degli altri. Determinanti di matrici quadrati di ordine \(1\) e \(2\).  Sottomatrici complementari. Complementi algebrici. Determinanti. Sviluppo del determinante rispetto alla prima riga. Teorema di Laplace: il determinante di una matrice può essere calcolato sviluppandolo rispetto ad una qualsiasi riga o una qualsiasi colonna.

LEZIONE 7
Regola di Sarrus. Proprietà dei determinanti: \(\textrm{det}(0_n)=0\),  \(\textrm{det}(I_n)=1\) e \(\textrm{det}(A^T)=\textrm{det}(A)\). Se una matrice ha una riga (o una colonna) nulla, il suo determinante è zero. Il determinante di una matrice triangolare è il prodotto degli elementi diagonali. Il determinante di una matrice diagonale è il prodotto degli elementi diagonali. Se in una matrice si moltiplica una riga (o una colonna) per uno scalare, il determinante della matrice resta moltiplicato per lo stesso scalare. Il determinante è lineare per righe (o per colonne). Scambiando due righe (o due colonne) in una matrice, il determinante cambia segno. Se una matrice ha due righe uguali (o due colonne uguali), il suo determinante è nullo. Se una matrice ha due righe (o due colonne) proporzionali, il suo determinante è nullo. Sommando ad una riga (o una colonna) di una matrice una combinazione lineare delle rimanenti, il determinante non cambia. Se in una matrice le righe (o le colonne) sono linearmente dipendenti, il determinante è nullo. Teorema di Binet: prese \(A\) e \(B\) due matrici quadrate dello stesso ordine, allora \(\textrm{det}(AB)=\textrm{det}A \ \textrm{det}B\). Il determinante non si distribuisce rispetto alla somma di matrici.

 
LEZIONE 8
Matrici quadrate invertibili. Prese due matrici invertibili \(A\) e \(B\), anche la matrice \(AB\) è invertibile e si ha che \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\). Il gruppo lineare reale di ordine \(n\) delle matrici invertibili, \(GL_n(\mathbb{R})\). Teorema di Laplace per la matrice inversa: una matrice è invertibile se e solo se ha determinante diverso da zero. In particolare, l'inversa di una matrice è data da \(A^{-1}=\frac{1}{\textrm{det}A}(A^*)^T\), dove \(A^*\) è la matrice che ha per entrate, ordinatamente, i complementi algebrici degli elementi della matrice \(A\). Esempi di calcolo di matrici inverse. Sottomatrici e minori di una matrice. Rango di una matrice. Una matrice ha rango zero se e solo se è la matrice nulla.


LEZIONE 9
Se \(A\in M_{m,n}(\mathbb{R})\), allora \(\textrm{rk}A\leqslant\min\{m,\,n\}\) e se vale l'uguaglianza si dice che \(A\) ha rango massimo. Una matrice quadrata ha rango massimo se e solo se è invertibile. Il rango di una matrice \(A\) vale \(r\) se e solo se la matrice contiene un minore non nullo di ordine \(r\) e tutti i minori di \(A\) di ordine \(r+1\) sono nulli. Minori orlati. Teorema di Kronecker: il rango di una matrice vale \(r\) se e solo se la matrice contiene un minore non nullo di ordine \(r\) e tutti i suoi orlati di ordine \(r+1\) sono nulli. Equazioni lineari in una o più incognite. Soluzione di un'equazione lineare. Sistemi lineari di tipo \(m\times n\) a coefficienti reali (con \(m\) equazioni ed \(n\) incognite). Soluzione di un sistema lineare. Sistemi compatibili, determinati, indeterminati, impossibili (o incompatibili). Scrittura compatta di un sistema lineare: un sistema lineare si scrive nella forma \(A\mathbf{X}=\mathbf{b}\), dove \(A\in M_{m,n}(\mathbb{R})\) è la matrice incompleta, \(\mathbf{b}\in \mathbb{R}^m\) è la colonna dei termini noti e \(\mathbf{X}=(x_1,x_2,\dots,x_n)^T\) la colonna delle indeterminate. Sistemi omogenei.  

 
LEZIONE 10
Un sistema omogeneo non è mai impossibile, ammette sempre la soluzione banale; inoltre, se ammette una soluzione non banale, ne ammette infinite. Le soluzioni di un sistema non omogeneo sono date dalla somma di una (data) soluzione particolare e di una qualsiasi soluzione del sistema omogeneo associato. Un sistema lineare ammette una, nessuna o infinite soluzioni. Sistemi lineari quadrati di ordine \(n\). Teorema di Cramer: un sistema lineare quadrato con matrice dei coefficienti \(A\) è determinato se e solo se \(\textrm{det}A\neq0\). Sistemi lineari crameriani. Teorema di Cramer: un sistema lineare quadrato con matrice dei coefficienti \(A\) è determinato se e solo se \(\textrm{det}A\neq0\) (indipendentemente dalla colonna dei termini noti). Risoluzione di un sistema crameriano col metodo della matrice inversa. Regola di Cramer per la risoluzione di un sistema crameriano. Un sistema lineare omogeneo quadrato con matrice dei coefficienti \(A\) è indeterminato se e solo se \(\textrm{det}A=0\). Una matrice quadrata ha rango massimo se e solo se le colonne (o le righe) di \(A\) sono linearmente indipendenti. 

 
LEZIONE 11
Una matrice \(A\in M_{m,n}(\mathbb{R})\)  ha rango \(r\) se e solo se in \(A\) esistono \(r\) righe (o colonne) linearmente indipendenti e se \(r+1\) righe (o colonne) comunque scelte sono linearmente dipendenti. In una matrice \(A\in M_{m,n}(\mathbb{R})\)  il rango indica il massimo numero di righe (o colonne) linearmente indipendenti. Teorema di Rouché-Capelli: un sistema lineare  \(A\mathbf{X}=\mathbf{b}\) è compatibile se e solo se il rango della matrice incompleta del sistema \(A\) e il rango della matrice completa del sistema \((A|\mathbf{b})\) sono uguali. In tal caso, detto \(r\) il rango, il sistema è determinato se \(n=r\), è invece indeterminato con \(\infty^{n-r}\) soluzioni, se \(r<n\). Esercizi vari sui teoremi di Cramer e di Rouché-Capelli. 

LEZIONE 12
Un vettore applicato è individuato da un punto di applicazione, una direzione, un verso ed un modulo. L'insieme dei vettori geometrici applicati nel piano. Vettori geometrici liberi. Vettore nullo. Vettori equipollenti. Somma di due vettori (con la regola del parallelogramma o della poligonale) e moltiplicazione con scalare. Operazioni con i vettori liberi: somma e moltiplicazione con scalare reale. L'insieme dei vettori geometrici liberi del piano \(\mathcal{V}_2\), della retta  \(\mathcal{V}_1\) e dello spazio fisico \(\mathcal{V}_3\). Definizione astratta di gruppo e di gruppo abeliano. Esempi di gruppi additivi e moltiplicativi, abeliani e non. Spazi vettoriali reali. Esempi di spazi vettoriali: \( M_{m,n}(\mathbb{R})\), \(\mathbb{R}^n\),  \(\mathcal{V}^2\). Lo spazio vettoriale reale \(\mathbb{R}[x]\) dei polinomi a coefficienti reali nell'indeterminata \(x\). Principio di identità tra polinomi. Lo spazio vettoriale reale \(\mathbb{R}^X\) delle funzioni a valori reali con dominio \(X\). Principio di identità tra funzioni. Operazioni tra funzioni: somma e moltiplicazione con scalare reale definite puntualmente. 

LEZIONE 13
In uno spazio vettoriale \(V\) il vettore nullo \(\mathbf{0}_V\) è unico; il simmetrico di un vettore \(v\in V\) è unico, lo si indica con \(-v\) ed è detto l'opposto di \(v\). Legge di annullamento del prodotto negli spazi vettoriali: presi \(\lambda\in\mathbb{R}\) e \(v\in V\), si ha che \(\lambda v=\mathbf{0}_V\) se e solo se \(\lambda=0_{\mathbb{R}}\) oppure \(v=\mathbf{0}_V\). Preso un vettore un vettore \(v\) di uno spazio vettoriale \(V\), si ha che \((-1)v=-v\). Combinazioni lineari. Vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. Un vettore è linearmente dipendente se e solo se è nullo. Due vettori sono linearmente dipendenti se e solo se sono proporzionali. Dei vettori sono linearmente dipendenti se e solo se uno di essi è combinazione lineare dei rimanenti. Se in un insieme di vettori alcuni di essi sono linearmente dipendenti, allora tutti sono linearmente dipendenti. Sottospazi vettoriali. Dato lo spazio vettoriale \(V\), gli insiemi \(\{\mathbf{0}_V\}\) e \(V\) sono sottospazi vettoriali di \(V\). Un sottospazio vettoriale contiene necessariamente il vettore nullo. Esempi di sottospazi vettoriali: matrici quadrate simmetriche \(S_n(\mathbb{R})\), antisimmetriche \(A_n(\mathbb{R})\) e diagonali \(D_n(\mathbb{R})\). L'insieme \(\mathbb{R}_{\leqslant n}[x]\) dei polinomi di grado al più \(n\) con il polinomio nullo è un sottospazio vettoriale di \(\mathbb{R}[x]\).

 
 
LEZIONE 14
L'insieme delle soluzioni di un sistema lineare di tipo \(m\times n\) è un sottospazio vettoriale di \(\mathbb{R}^n\) se e solo se il sistema è omogeneo. Sia \(V\) uno spazio vettoriale e siano \(v_1,\ v_2,\,\dots, v_n\) vettori di \(V\), allora il sottoinsieme costituito dalle combinazioni lineari dei \(v_i\) è un sottospazio vettoriale di \(V\); esso è chiamato il sottospazio generato dai \(v_i\) ed è indicato con \(\mathcal{L}(v_1,\ v_2,\,\dots, v_n)\). Retta vettoriale. Piano vettoriale. Spazi vettoriali finitamente generati. Lo spazio \(\mathbb{R}[x]\) non è finitamente generato. Gli spazi \(\mathbb{R}^n\), \(\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})\) e \(\mathbb{R}_{\leqslant n}[x]\) sono finitamente generati. Dato lo spazio vettoriale \(V\), gli insiemi \(\{\mathbf{0}_V\}\) e \(V\) sono sottospazi vettoriali di \(V\).  Lo spazio \(\mathbb{R}[x]\) non è finitamente generato. Dato \(V\) uno spazio vettoriale e \(v_1, v_2,\,\dots, v_n\) vettori di \(V\), preso \(w\in\mathcal{L}(v_1, v_2,\,\dots, v_n)\), allora si ha \(\mathcal{L}(v_1, v_2,\,\dots, v_n, w)=\mathcal{L}(v_1, v_2,\,\dots, v_n)\). Dati i vettori \(v_1, v_2,\,\dots, v_n\) linearmente indipendenti di \(V\), preso \(w\not\in\mathcal{L}(v_1, v_2,\,\dots, v_n)\), allora i vettori \(v_1, v_2,\,\dots, v_n, w\) sono linearmente indipendenti. Una base di uno spazio vettoriale finitamente generato è un sistema di generatori linearmente indipendenti. Basi canoniche di \(\mathbb{R}^n\),  \(\mathbb{R}_{\leqslant n}[x]\) e \(M_{m,n}(\mathbb{R})\). Le due condizioni per definire una base sono indipendenti (e vanno verificate entrambe). 

LEZIONE 15
Metodo degli scarti successivi: ogni spazio vettoriale non banale finitamente generato ha almeno una base. Lemma di Steinitz: se \(\{v_1, v_2,\dots, v_n\}\) è una base di \(V\) e \(w_1, w_2, \dots, w_m\) sono \(m>n\) vettori di \(V\) allora i \(w_i\) sono linearmente dipendenti. Lemma di scambio: se in una base si sostituisce un vettore con la somma di questo vettore più una combinazione lineare dei vettori rimanenti, si ottiene una nuova base. Tutte le basi di uno spazio vettoriale finitamente generato hanno la stessa cardinalità che è detta la dimensione di \(V\) e si indica \(\dim V\). Coordinate di un vettore rispetto ad una base. Operazioni tra vettori in termini delle loro componenti rispetto ad una base.

 
LEZIONE 16
Teorema del completamento della base: Sia \(\{v_1, v_2,\dots, v_n\}\) una base di \(V\) e siano \(w_1, w_2, \dots, w_m\), con \(m<n\), vettori linearmente indipendenti  di \(V\); allora è possibile scegliere \(n-m\) vettori \(v'_1, v'_2, \dots, v'_{n-m}\) tra i \(v_i\) tali che  \(\{w_1, w_2,\dots, w_m, v'_1, \dots, v'_{n-m}\}\) sia una base di \(V\). La dimensione di \(V\) indica il numero massimo di vettori linearmente indipendenti che si possono trovare in \(V\). La dimensione di \(V\) indica il numero minimo di generatori di \(V\). Se \(V\) è uno spazio vettoriale di dimensione \(n\), allora \(\{v_1, v_2,\dots, v_n\}\) è una base di \(V\) se e solo se \(v_1, v_2,\dots, v_n\) sono linearmente indipendenti, se e solo se \(v_1, v_2,\dots, v_n\) sono generatori di \(V\). 

LEZIONE 17
Esercitazione. Siano \(w_1,w_2,\dots,w_m\) vettori di uno spazio vettoriale \( V\) di dimensione \(n\) e sia \(\mathcal B\) una base di \(V\). Sia \(A\in M_{m,n}(\mathbb R)\) la matrice che ha per righe le coordinate dei \(w_i\) rispetto a \(\mathcal B\). Allora \(\textrm{rk} A=r\) indica il massimo numero di vettori linearmente indipendenti tra i \(w_i\) ed \(r\) vettori linearmente indipendenti sono quelli corrispondenti alle righe di un qualsiasi minore non nullo di \(A\) di ordine \(r\). Inoltre, i \(w_i\) sono linearmente indipendenti se e solo se \(\textrm{rk} A=m\). Siano \(\mathcal B\) e \(\mathcal B'\) basi di uno spazio vettoriale \(V\) di dimensione finita; la matrice di passaggio da \(\mathcal B\) a \(\mathcal B'\) è la matrice che si ottiene scrivendo in colonna ordinatamente le coordinate dei vettori di \(\mathcal B'\) in funzione di quelli di \(\mathcal B\). Teorema del cambiamento di coordinate nel passaggio da una base ad un'altra: siano \(P\) la matrice di passaggio dalla base \(\mathcal B\) alla base \(\mathcal B'\), \(P'\) la matrice di passaggio dalla base \(\mathcal B'\) alla base \(\mathcal B\), \(X\) la colonna delle coordinate di un vettore \(v\in V\) rispetto alla base \(\mathcal B\) e \(X'\) la colonna delle coordinate di \(v\) rispetto alla base \(\mathcal B'\), allora si ha che \(P'=P^{-1}\), \(X'=P^{-1}X\) e infine \(X=PX'\).

LEZIONE 18
Esercitazione. Esempi ed applicazioni delle formule del cambiamento di base e del cambiamento di coordinate. Equazioni cartesiane e codimensione di un sottospazio vettoriale.  

LEZIONE 19
Il numero di parametri necessari per dare le equazioni parametriche di \(W\) è uguale alla dimensione di \(W\). Se \(n=\textrm{dim}V\), il numero minimo di equazioni cartesiane per descrivere \(W\) è \(n-\textrm{dim}W\). Esempi. Se \(V\) è uno spazio vettoriale di dimensione \(n\) e \(W\) è un sottospazio di \(V\), il numero minimo di equazioni cartesiane necessarie per descrivere \(W\) è detto codimensione di \(W\) e \(\textrm{codim}W=n-\textrm{dim}W\). In particolare, per ogni sottospazio vettoriale \(W\) si ha \(n=\textrm{dim}W+\textrm{codim}W\). Se \(V\) è uno spazio vettoriale di dimensione finita e \(W\) è un sottospazio di \(V\) allora \(\textrm{dim}W\leqslant\textrm{dim}V\). Inoltre \(\textrm{dim}W=\textrm{dim}V\) se e solo se \(W=V\). L'intersezione di due sottospazi vettoriali è un sottospazio vettoriale. 

LEZIONE 20
In generale, l'unione di due sottospazi vettoriali non è un sottospazio vettoriale. La somma di due sottospazi vettoriali è un sottospazio vettoriale ed è il più piccolo contenente l'unione dei due sottospazi. Un sistema di generatori per la somma dei sottospazi \(U\) e \(W\) è dato dall'unione di una base di \(U\) e una base di \(W\); per ottenere una base va poi applicato il metodo degli scarti successivi. Equazioni cartesiane di \(U\cap W\) sono date dal sistema contenente equazioni cartesiane di \(U\) e di \(W\). Teorema di Grassmann: Se \(U\) e \(W\) sono sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale di dimensione finita, allora vale la formula di Grassmann \(\textrm{dim}(U+W)+\textrm{dim}(U\cap W)=\textrm{dim}U+\textrm{dim}W\). Esercitazione. 

LEZIONE 21
Esempi di applicazione della formula di Grassmann. Dati due sottospazi \(U\) e \(W\) si ha che \(U+W=W\) se e solo se \(U\cap W=U\) se e solo se \(U\subseteq W\). Somma diretta di due sottospazi. Formula di Grassmann per la somma diretta: \(\textrm{dim}(U\oplus W)=\textrm{dim}U+\textrm{dim}W\). Teorema della somma diretta: dati \(U\) e \(W\) sottospazi vettoriali, si ha che \(U\) e \(W\) sono a somma diretta se e solo se ogni vettore di \(U+W\) si scrive in maniera unica come somma di un vettore di \(U\) e di un vettore di \(W\). Siano \(T\), \(U\) e \(W\) sottospazi vettoriali, siano \(\mathcal {B}_U=\{u_1,\dots, u_m\}\) una base di \(U\) e \(\mathcal {B}_W=\{w_1,\dots, w_l\}\) una base di \(W\), allora \(T=U\oplus W\) se e solo se \(\{u_1,\dots, u_m,w_1,\dots,w_l\}\) è una base di \(T\). Sottospazi complementari. In uno spazio vettoriale finitamente generato ogni sottospazio ammette un complemento diretto (che non è unico in generale).

LEZIONE 22
Esercitazione in preparazione all'esonero.

 
LEZIONE 23
Somma diretta di più sottospazi vettoriali. Sistemi di riferimento affine nel piano. Coordinate affini di punti e vettori nel piano. Operazioni tra vettori in termini di coordinate. Presi due punti del piano \(A\) e \(B\), le coordinate del vettore \(\stackrel{\longrightarrow}{AB}\) sono date dalla differenza delle coordinate del punto finale \(B\) meno quelle del punto di applicazione \(A\); più in generale si ha che \(\stackrel{\longrightarrow}{AB}=v\) se e solo se \(B=A+v\) . Una retta nel piano è univocamente individuata da un suo punto e da un vettore ad essa parallelo. Vettore direzionale e parametri direttori di una retta. Equazione vettoriale di una retta: data una retta \(r\), un punto \(P_0\in r\) ed un vettore direzionale \({v}\) di \(r\), allora un punto \(P\) del piano appartiene ad \(r\) se e solo se \(\stackrel{\longrightarrow}{P_0P}=t\,{v}\), per qualche \(t\in \mathbb R\). Equazioni parametriche di una retta: data una retta \(r\), un punto \(P_0(x_0,\,y_0)\in r\) ed un vettore direzionale \({v}(l,\,m)\) di \(r\), allora equazioni parametriche di \(r\) sono date da \(\begin{cases}x=x_0+l\,t\\y=y_0+m\,t   \end{cases}\). Retta passante per due punti.

 
LEZIONE 24
Esercitazione. Equazione cartesiana di una retta: una retta nel piano è rappresentata da un'equazione del tipo \(ax+by+c=0\), con \(a\) e \(b\) non contemporaneamente nulli, e viceversa, ogni equazione di questo tipo ha per grafico nel piano una retta. La retta di equazione \(ax+by+c=0\) ha per vettore direzionale il vettore \((-b,a)\). Dati \(P_1(x_1,y_1)\) e \(P_2(x_2,y_2)\) due punti distinti del piano, la retta che li congiunge ha equazioni parametriche date da \(\begin{cases}x=x_1+(x_2-x_1)\,t\\y=y_1+(y_2-y_1)\,t\end{cases}\) ed equazione cartesiana data da \(\begin{vmatrix}x-x_1&y-y_1\\x_2-x_1&y_2-y_1\end{vmatrix}=0\). Condizione di allineamento di tre punti. Rette parallele, rette coincidenti, rette parallele e distinte, rette incidenti. Posizione reciproca di due rette nel piano: siano date due rette \(r:\ ax+by+c=0\) e \(r':\ a'x+b'y+c'=0\), allora \(r\|r'\) se e solo se \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b\\a'&b'\end{pmatrix}=1\); in particolare sono parallele e coincidenti se e solo se \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\end{pmatrix}=1\), sono parallele e distinte se e solo se \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b\\a'&b'\end{pmatrix}=1\) e \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\end{pmatrix}=2\); infine \(r\) ed \(r'\) sono incidenti se e solo se \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b\\a'&b'\end{pmatrix}=\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\end{pmatrix}=2\). Esempi di geoemtria piana affine. Richiami sulle proprietà elementari dello spazio euclideo tridimensionale. Punti allineati e punti complanari. Vettori allineati e vettori complanari. Tre vettori di \(\mathcal V^3\) sono linearmente dipendenti se e solo se sono complanari. Lo spazio \(\mathcal V_O^3\) ha dimensione tre. Lo spazio affine tridimensionale \(\mathbb A^3(\mathbb R)\). Sistema di riferimento affine e coordinate affini nello spazio. Coordinate di vettori liberi ed applicati.

LEZIONE 25
I punti \(P_1,\ P_2,\ \dots,\ P_n\) sono allineati (rispettivamente complanari) se e solo se la matrice che ha per righe ordinatamente le coordinate dei vettori \(\stackrel{\longrightarrow}{P_1P_2}\), \(\dots\), \(\stackrel{\longrightarrow}{P_1P_n}\) ha rango 1 (rispettivamente rango 2). Equazione vettoriale di una retta: data una retta \(r\), un punto \(P_0\in r\) ed un vettore direzionale \({v}\) di \(r\), allora un punto \(P\) del piano appartiene ad \(r\) se e solo se \(\stackrel{\longrightarrow}{P_0P}=t\,{v}\), per qualche \(t\in \mathbb R\). Equazioni parametriche di una retta: una retta parallela al vettore \( v=(l,m,n)\) e passante per il punto \(P_0=(x_0,y_0,z_0)\) ha equazioni parametriche  \(\begin{cases}x=x_0+l\,t\\y=y_0+m\,t\\z=z_0+n\,t   \end{cases}\). Condizioni operative per l'allineamento di tre punti e per la complanarità di quattro punti. Equazione vettoriale di un piano: dato un piano \(\pi\), un punto \(P_0\in \pi\) e due vettori non linearmente indipendenti \(v\) e \(w\) \({v}\) paralleli a \(\pi\), allora un punto \(P\) appartiene a \(\pi\) se e solo se \(\stackrel{\longrightarrow}{P_0P}=t\,{v}+t'\,w\), per qualche \(t,\,t'\in \mathbb R\). Equazioni parametriche di un piano: il piano parallelo ai vettori \( v=(l,m,n)\) e \( w=(l',m',n')\) e passante per il punto \(P_0=(x_0,y_0,z_0)\) ha equazioni parametriche  \(\begin{cases}x=x_0+l\,t+l\,t'\\y=y_0+m\,t+m\,t'\\z=z_0+n\,t+n\,t'\end{cases}\). Siano dati  \(P_1(x_1,y_1,z_1)\), \(P_2(x_2,y_2,z_2)\) e  \(P_3(x_3,y_3,z_3)\) tre punti non allineati dello spazio; il piano che li contiene ha equazioni parametriche date da \(\begin{cases}x=x_1+(x_2-x_1)\,t+(x_3-x_1)\,t'\\y=y_1+(y_2-y_1)\,t+(y_3-y_1)\,t'\\z=z_1+(z_2-z_1)\,t+(z_3-z_1)\,t'\end{cases}\). Tutti e soli i piani dello spazio sono rappresentati da un'equazione del tipo \(ax+by+cz+d=0\), con \(a,b,c\) non contemporaneamente nulli. Equazioni cartesiane di una retta nello spazio: tutte e sole le rette dello spazio sono definite da un sistema lineare di due equazioni in tre indeterminate del tipo \(\begin{cases}ax+by+cz+d=0\\ a'x+b'y+c'z+d'=0\end{cases}\), con \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\end{pmatrix}=2\). Una retta di equazioni cartesiane \(r:\ \begin{cases}ax+by+cz+d=0\\ a'x+b'y+c'z+d'=0\end{cases}\) ha come vettore direzionale il vettore \(v_r=\left(\begin{vmatrix}b&c\\b'&c'\end{vmatrix},\ -\begin{vmatrix}a&c\\a'&c'\end{vmatrix},\ \begin{vmatrix}a&b\\a'&b'\end{vmatrix}\right)\).

 
LEZIONE 26
Piani coincidenti, piani paralleli e distinti, piani incidenti. I piani paralleli (in senso lato) si distinguono in piani propriamente paralleli e piani (paralleli e) coincidenti. Teorema di classificazione delle posizioni reciproche di due piani nello spazio: siano dati due piani \(\pi:\ ax+by+cz+d=0\) e \(\pi':\ a'x+b'y+c'z+d'=0\); allora \(\pi\) e \(\pi'\) sono paralleli e distinti se e solo se \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\end{pmatrix}=1\) e \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b&c&d\\a'&b'&c'&d'\end{pmatrix}=2\); \(\pi\) e \(\pi'\) sono coincidenti se e solo se \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b&c&d\\a'&b'&c'&d'\end{pmatrix}=1\); \(\pi\) e \(\pi'\) sono incidenti se e solo se \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\end{pmatrix}=2\). Dato il piano \(\pi: \ ax+by+cz+d=0\), il vettore \(v=(a,b,c)\) è detto vettore di giacitura di \(\pi\) e i coefficienti \(a,\,b,\,c\) sono detti parametri giacitura. Piani paralleli hanno, a meno di un fattore moltiplicativo non nullo, gli stessi parametri di giacitura. Teorema di classificazione delle posizioni reciproche tra retta e piano nello spazio: dati un piano  \(\pi:\ ax+by+cz+d=0\) ed una retta \(r:\ \begin{cases}a'x+b'y+c'z+d'=0\\ a''x+b''y+c''z+d''=0\end{cases}\), si ha che \(r\) e \(\pi\) sono propriamente paralleli se e solo se \(\textrm{det}\begin{pmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\\a''&b''&c''\end{pmatrix}=0\) e \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b&c&d\\a'&b'&c'&d'\\a''&b''&c''&d''\end{pmatrix}=3\); si ha che \(r\subset\pi\) se e solo se  \(\textrm{rk}\begin{pmatrix}a&b&c&d\\a'&b'&c'&d'\\a''&b''&c''&d''\end{pmatrix}=2\); risulta che \(r\) e \(\pi\) sono incidenti (in un solo punto) se e solo se \(\textrm{det}\begin{pmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\\a''&b''&c''\end{pmatrix}\neq0\). Un piano di giacitura \((a,b,c)\) ed una retta di parametri direttori \((l,m,n)\) sono paralleli se e solo se \(al+bm+cn=0\). Due rette sono parallele se e solo se hanno vettori direzionali proporzionali. Rette parallele sono complanari. Rette incidenti sono complanari. Rette sghembe. Teorema di classificazione delle posizioni reciproche di due rette nello spazio: date le rette \(r:\ \begin{cases}ax+by+cz+d=0\\ a'x+b'y+c'z+d'=0\end{cases}\) e \(s:\ \begin{cases}a''x+b''y+c''z+d''=0\\ a'''x+b'''y+c'''z+d'''=0\end{cases}\) e prese le matrici \(A= \begin{pmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\\a''&b''&c''\\a'''&b'''&c'''\end{pmatrix}\) e \(B= \begin{pmatrix}a&b&c&d\\a'&b'&c'&d'\\a''&b''&c''&d''\\a'''&b'''&c'''&d'''\end{pmatrix}\), si ha che \(r\) e \(s\) sono sghembe se e solo se \(\textrm{det}B\neq0\),  \(r\) e \(s\) sono incidenti se e solo se \(\textrm{rk}B=\textrm{rk}A=3\), \(r\) e \(s\) sono propriamente parallele se e solo se \(\textrm{rk}B=3\) e \(\textrm{rk}A=2\), \(r\) e \(s\) sono coincidenti se e solo se \(\textrm{rk}B=2\). 

LEZIONE 27
Giacitura di sottospazi affini. Dimensione di uno spazio affine.  Intersezioni di sottospazi affini. Spazio congiungente due spazi affini. Formula di Grassmann affine. Esempi ed applicazioni. Cenni di geometria affine in dimensioni superiori.

LEZIONE 28
Esercitazione.

LEZIONE 29
Esercitazione.

LEZIONE 30
Applicazioni lineari tra spazi vettoriali. Un'applicazione lineare \(F:\ V\rightarrow W\) è tale che \(F(\mathbf{0}_V)=\mathbf{0}_W\) e \(F(-v)=-F(v)\), per ogni \(v\in V\). Le applicazioni lineari conservano le combinazioni lineari: data un'applicazione lineare \(F:\ V\rightarrow W\) e il vettore \(v=\lambda_1 v_1+\dots+\lambda_k v_k\), allora \(F(v)=\lambda_1 F(v_1)+\dots+\lambda_k F(v_k)\). Due applicazioni lineari sono uguali se e solo se assumono gli stessi valori sui vettori di una base dello spazio di partenza. Applicazione nulla. Applicazione identica. Restrizione di un'applicazione lineare ad un sottospazio vettoriale. Applicazione lineare data dalla moltiplicazione a sinistra per una matrice. La derivazione è un'applicazione lineare definita sullo spazio dei polinomi (o delle funzioni derivabili). 

LEZIONE 31
Teorema fondamentale di esistenza e unicità dell'applicazione lineare definita dai valori assunti sui vettori di una base (o teorema di estensione): dati gli spazi vettoriali \(V\) e \(W\), con \(V\) finitamente generato, presi \(\{v_1,\dots, v_n\}\) una base di \(V\) e \(\{w_1,\dots,w_n\}\) un sottinsieme di vettori qualsiasi di \(W\), allora esiste ed è unica l'applicazione lineare \(F:V\rightarrow W\) tale che \(F(v_1)=w_1,\,\dots,\,F(v_n)=w_n\).  Esempi di applicazione del teorema di estensione.

 
LEZIONE 32
Matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto a due basi. Formule di calcolo in termini di coordinate e matrice associata. Teorema di rappresentazione. Legge del cambiamento della matrice associata. Insieme immagine di un'applicazione lineare.  Se \(F:\ V\rightarrow W\) è un'applicazione lineare, allora \(\textrm{Im} F\) è un sottospazio vettoriale di \(W\); inoltre se \(V\) è finitamente generato ed ha dimensione \(n\) allora \(\textrm{dim Im}F\leqslant n\) e se \(\{v_1,\dots, v_n\}\) è una base di \(V\), allora \(\{F(v_1),\,\dots,\,F(v_n)\}\) è un sistema di generatori di \(\textrm{Im} F\). L'immagine diretta di un sottospazio del dominio sotto un'applicazione lineare è un sottospazio dell'insieme d'arrivo.

LEZIONE 33
La dimensione dell'immagine di un'applicazione lineare tra spazi vettoriali finitamente generati eguaglia il rango della matrice associata. Un'applicazione lineare \(F:\ V\rightarrow W\) è suriettiva se e solo se \(\textrm{Im}F=W\), e se \(V\) e \(W\) sono finitamente generati, \(F\) è suriettiva se e solo se \(\textrm{rk}A=\textrm{dim Im}F\). Controimmagine di un vettore. La controimmagine sotto un'applicazione lineare tra spazi vettoriali finitamente generati è trovata risolvendo un sistema lineare. Nucleo di un'applicazione lineare.

LEZIONE 34
Il nucleo di un'applicazione lineare è un sottospazio vettoriale del dominio e se dominio e insieme di arrivo sono finitamente generati, la codimensione del nucleo è uguale al rango di una matrice associata all'applicazione.

LEZIONE 35
 Un'applicazione lineare è iniettiva se e solo se il suo nucleo è banale. Teorema del rango: siano \(V\) e \(W\) spazi vettoriali, con \(V\) finitamente generato, e sia \(F:\ V\rightarrow W\) un'applicazione lineare, allora vale la formula della dimensione: \(\textrm{dim}V=\textrm{dim Im}(F)+\textrm{dim Ker}(F)\). 

LEZIONE 36
Esempi di applicazione del teorema del rango. Data l'applicazione lineare \(F:\ V\rightarrow W\) tra due spazi vettoriali finitamente generati, si ha che \(F\) è iniettiva se e solo se \(\textrm{dim Im}F=\textrm{dim}V\), \(F\) è suriettiva se e solo se \(\textrm{dim Im}F=\textrm{dim}W\), infine \(F\) è biettiva se e solo se \(\textrm{dim Im}F=\textrm{dim}W=\textrm{dim}W\). Sia \(F:\ V\rightarrow W\) un'applicazione lineare e sia \(\textrm{dim}V=\textrm{dim}W\), allora \(F\) è iniettiva se e solo se \(F\) è suriettiva, se e solo se \(F\) è biettiva. Sia \(F: V\longrightarrow W\) un'applicazione lineare tra spazi vettoriali di dimensione finita, se \(\textrm{dim}V>\textrm{dim}W\) allora \(F\) non può essere iniettiva, se invece \(\textrm{dim}W>\textrm{dim}V\) allora \(F\) non può essere suriettiva. Sia data l'applicazione lineare \(F:\ V\rightarrow W\) tra due spazi vettoriali finitamente generati e sia \(A\) una matrice associata ad \(F\), si ha che \(F\) è iniettiva se e solo se \(\textrm{rk}A=\textrm{dim}V\), \(F\) è suriettiva se e solo se \(\textrm{rk}A=\textrm{dim}W\). Omomorfismi, endomorfismi, automorfismi di spazi vettoriali. Due spazi vettoriali finitamente generati sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione. Tutti gli spazi vettoriali di dimensione \(n\) sono isomorfi ad \(\mathbb{R}^n\). Considerazioni sul significato del concetto di isomorfismo.

LEZIONE 37
Composizione di applicazioni. Applicazioni invertibili. Un'applicazione è invertibile se e solo se è biettiva. La composizione di applicazioni lineari è un'applicazione lineare. Teorema di composizione operatoria: date le applicazioni tra spazi vettoriali f.g. \(F:\ V\rightarrow W\) e  \(G:\ W\rightarrow U\) con matrici associate rispettivamente \(B\) e \(A\), allora l'applicazione \(G\circ F:\ V\rightarrow U\) ha come matrice associata la matrice \(AB\). Teorema di Kronecker per il rango del prodotto di matrici: se \(A\) e \(B\) sono due matrici allora \(\textrm{rk}AB\leqslant\textrm{min}\{\textrm{rk}A,\ \textrm{rk}B\}\). Se si moltiplica una matrice \(A\) a destra o a sinistra per una matrice invertibile, allora il rango di \(A\) resta invariato. Le matrici associate ad una applicazione lineare hanno lo stesso rango (che coincide con la dimensione dell'immagine). Un'applicazione lineare \(F\) tra due spazi vettoriali f.g. è invertibile se e solo se le matrici associate ad \(F\) sono invertibili; in particolare la matrice di \(F^{-1}\) è l'inversa della matrice di \(F\) (a patto di usare le stesse basi). Endomorfismi e automorfismi di uno spazio vettoriale. Matrici associate ad un endomorfismo. Matrici simili. Le matrici associate ad un endomorfismo sono simili tra loro, hanno lo stesso rango e lo stesso determinante. Un endomorfismo è automorfismo se e solo se tutte le sue matrici associate sono invertibili.

LEZIONE 38
Esercitazione.

LEZIONE 39
Introduzione alla diagonalizzazione: motivazione e applicazioni. Autovalori e autovettori di un endomorfismo. Autospazi. Gli autospazi di un endomorfismo sono sottospazi vettoriali di dimensione maggiore o uguale a 1. Autovettori associati ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti. Un endomorfismo non è invertibile se e solo se ammette l'autovalore nullo, in particolare l'autospazio associato a 0 coincide con il nucleo dell'endomorfismo. Ricerca di autovalori e autovettori. Un numero reale \(\lambda\) è autovalore per un endomorfismo \(F\) se e solo verifica l'equazione \(\textrm{det}(A-\lambda I_n)=0\), dove \(A\) è una matrice associata ad \(F\). Un vettore con coordinate \(X\in\mathbb{R}^n\) è un autovettore per \(F\) associato all'autovalore \(\lambda\) se e solo se le sue coordinate risolvono il sistema lineare omogeneo \((A-\lambda I_n)X=\mathbf{0}\). Matrice caratteristica. Polinomio caratteristico. Equazione caratteristica. Equazione secolare di Laplace. Teorema di invarianza del polinomio caratteristico: il polinomio caratteristico di un endomorfismo \(F\) non dipende dalla matrice di \(F\) scelta per calcolarlo. Matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico. 

LEZIONE 40
Esempi. Molteplicità algebrica \(\textrm{m.a.}(\lambda)\) e molteplicità geometrica \(\textrm{m.g.}(\lambda)\) di un autovalore \(\lambda\). Un endomorfismo diagonalizzabile ha autovalori tutti reali (non necessariamente distinti). Se \(\lambda\) è un autovalore di un endomorfismo allora \(1\leqslant \textrm{m.g.}(\lambda)\leqslant \textrm{m.a.}(\lambda)\). 

LEZIONE 41
Gli autospazi di un endomorfismo sono a somma diretta. Un endomorfismo \(F\) di uno spazio vettoriale \(V\) è diagonalizzabile se e solo se \(V\) è somma diretta degli autospazi di \(F\). Teorema fondamentale della diagonalizzabilità: un endomorfismo di uno spazio vettoriale di dimensione finita è diagonalizzabile se e solo se ammette autovalori tutti reali e per ciascuno di questi molteplicità geometrica e molteplicità aritmetica coincidono. Se un endomorfismo ammette autovalori distinti allora è diagonalizzabile. Esercitazione. 

LEZIONE 42
Diagonalizzabilità di matrici. Polinomio caratteristico, autovalori, autovettori, autospazi di una matrice quadrata. Una matrice quadrata è diagonalizzabile se e solo se essa è simile ad una matrice diagonale. Esempi di diagonalizzazione di applicazioni lineari e matrici. Esercitazione.

 
LEZIONE 43
Esercitazione.

LEZIONE 44
Forme bilineari su uno spazio vettoriale reale. Forma bilineare nulla. Forma bilineare standard su \(\mathbb{R}^n\). Una forma bilineare \(b\) su uno spazio vettoriale \(V\) è detta simmetrica se per ogni \(v,w\in V\) si ha che \(b(v,w)=b(w,v)\). Una forma bilineare \(b\) su uno spazio vettoriale \(V\) è antisimmetrica se e solo se per ogni \(v,w\in V\) si ha che \(b(v,w)=-b(w,v)\). La forma nulla è l'unica sia simmetrica che antisimmetrica. Il determinante delle matrici quadrate di ordine 2 è una forma bilineare antisimmetrica. La forma bilineare standard su \(\mathbb{R}^n\) è simmetrica. Il prodotto tra numeri reali è una forma bilineare simmetrica su \(\mathbb{R}\). Matrice di Gram associata ad una forma bilineare rispetto ad una base. Formule di calcolo in termini di coordinate e matrice associata. Legge di cambiamento della matrice associata ad una forma bilineare: sia \(b\) una forma bilineare su uno spazio f.g. \(V\), siano \(\mathcal B\) e \(\mathcal B'\) due basi di \(V\) con matrice di passaggio \(P\), siano poi \(A\) la matrice associata a \(b\) rispetto a \(\mathcal B\) e \(A'\) la matrice associata a \(b\) rispetto alla base \(\mathcal{B}'\), allora si ha \(A'=P^{T}AP\). Matrici congruenti. Le matrici associate ad una stessa forma bilineare sono congruenti tra loro. Rango di una forma bilineare. Forme degeneri e non. Le matrici associate ad una stessa forma bilineare hanno tutte lo stesso rango. Una forma bilineare è simmetrica (risp. antisimmetrica) se e solo se una sua matrice associata è simmetrica (risp. antisimmetrica).

LEZIONE 45
Restrizione di una forma bilineare. La simmetria e l'antisimmetria sono invarianti per congruenza. Quadrato di binomio generalizzato. Una forma bilineare \(b\) su uno spazio \(V\) è degenere se e solo esiste un vettore non nullo \(v\) tale che \(b(v,w)=0\), per ogni \(w\in V\); se e solo esiste un vettore non nullo \(v\) tale che \(b(w,v)=0\), per ogni \(w\in V\). Due vettori \(v\) e \(w\) si dicono ortogonali secondo una forma bilineare simmetrica \(b\) se \(b(v,w)=0\) e si scrive \(v\bot w\). Il vettore nullo è ortogonale a tutti i vettori dello spazio. Vettori isotropi (ortogonali a sé stessi). L'insieme dei vettori isotropi non è in generale un sottospazio vettoriale, contiene il vettore nullo ed è unione di rette. Il sottospazio ortogonale \(S^\bot\) ad un insieme di vettori \(S\subset V\) è costituito da tutti i vettori di \(V\) ortogonali a tutti i vettori di \(S\). Il sottospazio ortogonale è un sottospazio vettoriale. Il sottospazio ortogonale \(W^\bot\) di un sottospazio \(W\) f.g. è il sottospazio dei vettori ortogonali a tutti i vettori di una base di \(W\).

LEZIONE 46
Esempi di calcolo di sottospazi ortogonali. Considerazioni geometriche. Teorema di Fourier: dato un vettore non isotropo \(v\in V\), si ha che \(V=v^\bot\oplus\mathcal{L}(v)\). Coefficiente di Fourier di \(w\) secondo un vettore non isotropo \(v\): \(\frac{b(v,w)}{b(v,v)}\). Forma quadratica associata ad una forma bilineare simmetrica. Forma quadratica nulla. Forma quadratica standard. Forma quadratica standard. Le forme quadratiche sono funzioni omogenee di secondo grado. Forma (bilineare) polare di una forma quadratica. Formula di polarizzazione: data una forma quadratica \(Q\) su uno spazio vettoriale \(V\), la forma bilineare polare di \(Q\) è data da \(b(v,w)=\frac12[Q(v+w)-Q(v)-Q(w)]\), per ogni \(v,w\in V\). Matrice associata ad una forma quadratica. Regole di calcolo in termini di matrice associata.

LEZIONE 47
Basi ortogonali e basi diagonalizzanti. Teorema di Gauss-Lagrange: Una forma bilineare è diagonalizzabile (rispetto ad una base ortogonale) se e solo se è simmetrica. Diagonalizzazione di forme quadratiche. Diagonalizzazione di matrici simmetriche (ogni matrice simmetrica è congruente ad una matrice diagonale).

LEZIONE 48
Legge di inerzia di Sylvester: data una forma quadratica \(Q\) di rango \(r\) su uno spazio vettoriale \(V\) di dimensione finita, esistono un numero intero positivo \(p\) ed una base \(\left\{ v_1,\,\dots, v_n \right\}\) di \(V\) rispetto a cui la forma \(Q\) ha l'espressione \(Q(x_1,\,\dots,\,x_n)=x_1^2+\dots+x_p^2-x_{p+1}^2-\dots-x_r^2\); inoltre il numero \(p\) è indipendente dalla base scelta e dipende solo dalla forma \(Q\). Forma canonica di Sylvester di una forma quadratica. Basi di Sylvester. Indice di positività, indice di negatività, segnatura di una forma quadratica.

LEZIONE 49
Forme quadratiche (e forme bilineari simmetriche) definite positive, semidefinite positive, definite negative, semidefinite negative, indefinite. Teorema degli zeri per le forme quadratiche: se una forma quadratica \(Q\) assume valore positivo su un vettore \(v\) e valore negativo su un vettore \(w\), allora esiste un vettore isotropo per \(Q\). Matrici simmetriche definite positive, semidefinite positive, definite negative, semidefinite negative, indefinite. Tutte le matrici simmetriche definite positive di ordine \(n\) sono congruenti alla matrice identica. Prodotti scalari. Spazi vettoriali euclidei. Prodotto scalare standard su \(\mathbb{R}^n\). Norma (o lunghezza) di un vettore, \(\parallel v\parallel=\sqrt{v\cdot v}\). Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz: dati due vettori \(v\) e \(w\) si ha che \(|v\cdot w|\leqslant\parallel v\parallel \,\parallel w\parallel\). Proprietà della norma: la norma assume sempre valori positivi ed è nulla solo per il vettore nullo; la norma è positivamente omogenea di grado 1. Diseguaglianza triangolare. Angolo (convesso) compreso tra due vettori non nulli. Detto \(\theta\) l'angolo compreso tra due vettori non nulli \(v\) e \(w\), si ha che \(v\cdot w=\parallel v\parallel \,\parallel w\parallel \cos\theta\). Teorema di Pitagora. Versori. Normalizzazione di vettori. Basi ortogonali. Basi ortonormali. Dei vettori non nulli e a due a due ortogonali sono linearmente indipendenti. Normalizzando i vettori di una base ortogonale si ottiene una base ortonormale. Procedimento ortogonale di Gram-Schmidt. Formule di calcolo del prodotto scalare e della norma di un vettore in termini delle coordinate rispetto ad una qualsiasi base ortonormale. Complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale. Teorema di decomposizione ortogonale: Dato un sottospazio vettoriale non nullo \(W\subseteq\mathbb R^n\), risulta che \(\mathbb R^n=W\oplus W^\bot\); in particolare si ha che \(\textrm{dim}W^\bot=n-\textrm{dim}W\). Proiezione ortogonale di vettori rispetto a un sottospazio.

LEZIONE 50
Interpretazione geometrica del coefficiente di Fourier e del procedimento ortogonale di G.-S. Matrici ortogonali. Una matrice ortogonale è invertibile. Una matrice di ordine \(n\) è ortogonale se e solo se le sue righe (colonne) sono una base di ortonormale di \(\mathbb R^n\). Le matrici ortogonali hanno determinante uguale a \(\pm1\). Siano \(\mathcal B\) una base ortonormale di \(\mathbb R^n\), \(\mathcal B'\) un'altra base di \(\mathbb R^n\) e sia \(P\) la matrice di passaggio da \(\mathcal B\) a \(\mathcal B'\); allora la base \(\mathcal B'\) è ortonormale se e solo se \(P\) è una matrice ortogonale. Le matrici ortogonali hanno determinante \(\pm1\)


LEZIONE 51
Endomorfismi simmetrici di \(\mathbb R^n\). Un endomorfismo di \(\mathbb R^n\) è simmetrico se e solo se la sua matrice rispetto a una qualsiasi base ortonormale è una matrice simmetrica.  Un endomorfismo simmetrico trasforma vettori ortogonali ad un autovettore in vettori ortogonali allo stesso autovettore. Teorema spettrale: motivazione. Tereoma spettrale (per endomorfismi simmetrici): Ogni endomorfismo simmetrico di \(\mathbb R^n\) è diagonalizzabile rispetto ad una base ortonormale di suoi autovettori. Esercitazione. 


LEZIONE 52
Teorema spettrale (per matrici simmetriche): Ogni matrice simmetrica è sia simile che congruente ad una matrice diagonale, ovvero per ogni matrice simmetrica \(A\) esistono una matrice diagonale \(D\) ed una matrice ortogonale \(M\) tali che \(D=M^{-1}AM=M^{T}AM\). Se una matrice simmetrica di ordine \(n\) \(A\) ha \(r\) autovalori non nulli di cui \(p\) positivi ed  \(r-p\) negativi, allora la matrice \(A\) ha rango \(r\) e segnatura \(\textrm{sgn}(A)=(p,r-p)\). Teorema di Harriot-Descartes (regola dei segni di Cartesio): Sia \(f(x)\in\mathbb R[x]\) un polinomio a coefficienti reali non costante; allora il numero di radici reali positive di \(f(x)\) non supera il numero delle variazioni di segno dei coefficienti di \(f(x)\) (ordinati secondo le potenze decrescenti della \(x\)) ed  il numero di radici reali negative di \(f(x)\) non supera il numero delle variazioni di segno dei coefficienti di \(f(-x)\) (ordinati secondo le potenze decrescenti della \(x\)). Se un polinomio \(f(x)\in\mathbb R[x]\) ha solo radici reali (non nulle), il numero delle radici positive di \(f(x)\) è uguale al numero delle variazioni di segno ed il numero delle radici negative di \(f(x)\) è uguale al numero delle variazioni di segno dei coefficienti di \(f(-x)\). Una matrice simmetrica di rango \(r\) ha segnatura \((p,r-p)\) se e solo se nel suo polinomio caratteristico ci sono \(p\) variazioni di segno. Esempi ed applicazioni. 

LEZIONE 53
Diagonalizzazione di forme quadratiche col metodo del completamento dei quadrati. Minori principali di una matrice quadrata. Teorema di Jacobi-Sylvester (criterio dei minori principali): una matrice simmetrica è definita positiva se e solo se tutti i suoi minori principali sono strettamente positivi. Prodotto vettoriale in \(\mathbb R^3\). Il prodotto vettoriale è bilineare antisimmetrico. Il prodotto vettoriale di due vettori è nullo se e solo se i due vettori sono linearmente dipendenti. Prodotto misto di tre vettori. Il prodotto misto è lineare rispetto ai suoi argomenti e cambia segno per ogni scambio dei vettori che si moltiplicano. Il prodotto vettoriale di due vettori è ortogonale ad entrambi i fattori. Dati due vettori \(v\) e \(w\) di \(\mathbb R^3\), si ha che \(\parallel v\wedge w\parallel^2 =\parallel v\parallel ^2\,\,\parallel w\parallel^2-(v\cdot w)^2 \). Dati due vettori linearmente indipendenti \(v\) e \(w\), si ha che \(\left\{v,w,v\wedge w\right\}\) è una base di \(\mathbb{R}^3\). Siano dati due vettori non nulli \(v\) e \(w\) in \(\mathbb R^3\) e sia \(v=a+b\) con \(a\) parallelo a \(w\) e \(b\) perpendicolare a \(w\), allora \(\parallel v\wedge w\parallel = \parallel b\parallel \,\parallel w\parallel\). Il modulo del prodotto vettoriale di due vettori eguaglia l'area del parallelogramma sotteso dai due vettori. Dati tre punti nello spazio \(A,B,C\), l'area del triangolo \(ABC\) è data da \(\mathcal A= \frac12 \parallel\vec{AB}\wedge\vec{AC}\parallel\). Il valore assoluto del prodotto misto di tre vettori nello spazio dà il volume del parallelepipedo sotteso ai tre vettori.


LEZIONE 54
Sistemi di riferimento cartesiano nel piano euclideo. Distanza tra due punti. Versore normale ad una retta. Dati un punto \(P(x_0,\,y_0)\) e la retta \(r:\ ax+by+c=0\), la distanza di \(P\) da \(r\) vale \(d(P,r)=\displaystyle\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\). Distanza tra rette parallele nel piano. Circonferenza nel piano. Esercitazione. 

 
LEZIONE 55
Ortottica e isottica di un segmento. Esercitazione. Spazio euclideo tridimensionale. Sistema di riferimento cartesiano. Distanza tra due punti. Dato il piano \(ax+by+cz+d=0\), il vettore di giacitura di \(\pi\), \(v_\pi=(a,b,c)\), è ortogonale al piano \(\pi\). Data una retta \(r\) di vettore direzionale \(v_r\) ed un piano \(\pi\) di giacitura \(v_\pi\), si ha che \(r\) è parallela a \(\pi\) se e solo se \(v_r\) e \(v_\pi\) sono ortogonali, \(r\) è ortogonale a \(\pi\) se e solo se \(v_r\) e \(v_\pi\) sono paralleli (proporzionali). Due piani sono perpendicolari se e solo se lo sono le loro giaciture. 

LEZIONE 56
Distanza di un punto da un piano: dati un punto \(P(x_0,\,y_0,\,z_0)\) e il piano \(\pi:\ ax+by+cz+d=0\), la distanza di \(P\) da \(\pi\) vale \(d(P,\pi)=\displaystyle\frac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\). Distanza di un punto da una retta. Distanza di una retta da un piano. Distanza tra due piani. Distanza tra due rette complanari. Proiezione ortogonale di un punto su un piano, di un punto su una retta e di una retta su un piano. Teorema della perpendicolare comune: Date due rette sghembe \(r\) ed \(r'\), esiste ed è unica la retta \(s\) perpendicolare sia ad \(r\) che ad \(r'\) ed incidente sia \(r\) che \(r'\), inoltre la distanza tra i due punti di incidenza dà la distanza tra le due rette sghembe. Sfere nello spazio.


 
LEZIONE 57
Circonferenze nello spazio. Esercizi di vario tipo. 

LEZIONE 58
Cenni sulle trasformazioni geometriche del piano. Implosione (funzione costante), proiezioni ortogonali sugli assi, traslazione, simmetrie centrali, simmetrie assiali. Affinità e isometrie. Punti fissi e rette fisse. Esempi di trasformazioni lineari nelle arti figurative e nella musica classica. 

LEZIONE 59

LEZIONE 60
Esercitazione.

LEZIONE 61
Esercitazione.


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