Analisi Matematica II

Facoltà di Ingegneria Civile e Industriale, Sapienza Università di Roma
Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Energetica
A.A. 2020/2021


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Il codice per i questionari OPIS è J1JBUYNU. Si ricorda che è doveroso compilarlo in ogni sua parte.

Il docente ha aperto una simulazione di esame su Exam.net con codice di accesso: ojAee4
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Il link al quale seguire le lezioni online è il link Zoom dell'aula 4:

   

Docente:  prof. Antonio Cigliola


Ricevimento: Su appuntamento per email a antonio.cigliola@uniroma1.it
Il canale Zoom del docente è raggiungibile qui:
https://uniroma1.zoom.us/j/2262217106


Orario delle lezioni:
Lunedì         8:00-10:00
Martedì        8:00-10:15
Giovedì       18:00-19:00  
Venerdì        16:00-19:00
Le lezioni si terranno in aula 4, per seguire online usare questo link.

Prerequisiti: Geometria, Analisi Matematica 1 (non propedeutico).


Programma di massima del corso:
Successioni e serie di funzioni. Serie di potenze. Serie di Fourier. Funzioni scalari e vettoriali di una o più variabili reali. Calcolo differenziale delle funzioni di più variabili reali. Misure di insiemi. Calcolo integrale in più variabili reali. Curve differenziali e integrali curvilinei. Superficie differenziali e integrali di superficie. Forme differenziali. Massimi e minimi vincolati e non.

 
Libro di testo adottato e materiale didattico consigliato:

 
DIARIO DELLE LEZIONI

LEZIONE 1
Presentazione del corso. Richiami sulle successioni numeriche reali. Successioni di funzioni. Convergenza puntuale. Esempi di calcolo di limiti puntuali di successioni di funzioni. Analisi di famiglie di grafici. 

LEZIONE 2
Convergenza uniforme. Interpretazione grafica. Criteri per l'uniforme convergenza. Esercitazione.

LEZIONE 3
Teorema di scambio del limite. Teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata. Esempi vari e controesempi. Esercitazione.

LEZIONE 4
Serie di funzioni. Somma di una serie. Serie geometrica e serie telescopica. Convergenza puntuale, uniforme, totale e assoluta di una serie. Varie implicazioni tra i tipi di convergenza.

LEZIONE 5
Esercitazione.

LEZIONE 6
Teoremi di integrazione termine a termine e di derivazione termine a termine per le serie. Esercitazione. Generalità ed esempi vari sulle serie di potenze.

LEZIONE 7
Esercitazione. Insieme di convergenza delle serie di potenza. Teorema di D'Alembert. Teorema di Cauchy-Hadamard. Serie derivata e serie integrata. Serie traslate. Esempi ed esercizi vari. 

LEZIONE 8
Sviluppabilità in serie di potenze. Serie di Taylor. Funzioni analitiche (che sono somma della propria serie di Taylor). Esempi e controesempi. Sviluppo in serie di Taylor della funzione esponenziale, logaritmo, seno, coseno, arcotangente. Esercizi vari.

LEZIONE 9
Utilizzo delle serie di potenze per la risoluzione delle equazioni differenziali e per il calcolo approssimato di integrali definiti "difficili". Esercitazione.

LEZIONE 10
Introduzione alle serie di Fourier. Polinomi e serie trigonometriche. Prodotto scalare e norma indotti dall'integrale. Serie di Fourier. Convergenza della serie di Fourier. Esempi.

LEZIONE 11
Serie di Fourier di funzioni pari o dispari. Esercitazione.

LEZIONE 12
Topologia del piano reale euclideo. Intorni circolari aperti. Punti interni, esterni, di frontiera, di accumulazione. Parte interna, parte esterna, frontiera, derivato di un insieme. Insiemi aperti, chiusi, limitati, connessi. Esempi vari.

LEZIONE 13
Funzioni di due variabili reali. Grafici di funzioni. Esempi di grafici. Superficie quadriche. Domini di funzioni. Esercitazione.

LEZIONE 14
Esercitazione.

LEZIONE 15
Grafici di funzioni a simmetria radiale. Limiti di funzioni di due variabili reali. Esercitazione. 

LEZIONE 16
Limiti secondo le restrizioni. Coordinate polari. Limiti in coordinate polari.

LEZIONE 17
Limiti in coordinate polari traslate. Funzioni continue. Esercizi vari. Teoremi sulle funzioni continue.

LEZIONE 18
Derivate parziali. Interpretazione geometrica. Derivate parziali nei punti di bordo. Regole di calcolo. Esempi vari.

LEZIONE 19
Correlazione tra continuità e derivabilità per funzioni di più variabili. Vettore gradiente. Derivate parziali di ordine successivo. Teorema di Schwartz. Esempi vari.

LEZIONE 20 
Esempio di funzione con derivate parziali seconde miste diverse in un punto. Matrice hessiana. Differenziabilità in un punto. Esempi vari. Esempio di una funzione continua non derivabile e non differenziabile. La differenziabilità implica la continuità.

LEZIONE 21
Teorema del differenziale totale. Esercitazione. 

LEZIONE 22
Esempio di un funzione derivabile non differenziabile in un punto. Esempio di una funzione differenziabile in un punto ma senza derivate parziali continue in un intorno del punto. Derivate direzionali. Formula del gradiente. Interpretazione geometrica del gradiente. 

LEZIONE 23
Massimi e minimi assoluti o locali in due variabili. Condizione necessaria del primo ordine. Condizione sufficiente del secondo ordine. Esempi vari. Studio dei casi con matrice hessiana degenere (uso delle restrizioni). Esercitazione.

LEZIONE 24
Esercitazione.

LEZIONE 25
Polinomio di Taylor arrestato al secondo ordine per le funzioni di due variabili (cenni). Funzioni scalari di più variabili reali. Domini di funzioni di tre variabili reali. Continuità, derivabilità, differenziabilità. Gradiente e matrice hessiana. Campi vettoriali. Funzioni componenti. Continuità, derivabilità, differenziabilità. Matrice jacobiana. 

LEZIONE 26
Richiami sul calcolo integrale in una variabile reale. Domini normali rispetto agli assi coordinati. Calcolo di aree di domini normali. Domini regolari. Calcolo dell'area di domini regolari. Cilindroidi sottesi ad una funzione. Volume di cilindroidi. Integrali doppi. Formule di riduzione per il calcolo di integrali doppi. 

LEZIONE 27
Area di domini in termini di integrali doppi. Coordinate polari e polari ellittiche. Applicazioni varie. Area dell'ellisse. Esercitazione.  

LEZIONE 28
Esercitazione.

LEZIONE 29
Coordinate polari traslate. Baricentro di lamine piane. Applicazioni fisiche agli integrali doppi. Esercitazione.

LEZIONE 30
Integrali tripli. Interpretazione fisica. Formule di riduzione. Esempi di calcolo in coordinate cartesiane. Coordinate sferiche. Coordinate cilindriche.

LEZIONE 31
Baricentri di domini nello spazio. Esercitazione. 

LEZIONE 32
Curve nel piano. Lunghezza di una curva. Integrali curvilinei. 

LEZIONE 33
Curve nello spazio. Baricentri di curve. Esercitazione.

LEZIONE 34
Superficie parametriche. Superficie regolari. Vettori tangente, vettore ortogonale. Piano tangente. Esempi vari. Esercitazione. 

LEZIONE 35
Area di una superficie regolare. Integrali di superficie. Baricentro di una superficie.

LEZIONE 36
Principio degli indivisibili di Cavalieri. Integrazione per fili e per fettine. Volume di solidi di rotazione attorno all'asse \(x\) o all'asse \(y\). Primo e secondo Teorema di Guldino. 

LEZIONE 37
Forme differenziali. Lavoro elementare di una forza. Forme chiuse, esatte, di classe \(\mathcal C^k\). Primitiva di una forma differenziale.  Potenziale di un campo vettoriale. Campi conservativi. Integrale curvilineo di una forma lungo una curva. Lavoro di una forza. Caratterizzazione delle forme esatte. Teorema di Poincaré. Esempi vari. 

LEZIONE 38
Formule di Gauss-Green per il calcolo di integrali curvilinei di forme differenziali e per il calcolo di aree di regioni piane. Esempi vari. Massimi e minimi vincolati. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange. Esercizi.

LEZIONE 39
Esercitazione.

LEZIONE 40
Esercitazione.

LEZIONE 41
Esercitazione.

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